Robert Musil ha sempre mostrato un grande interesse per la matematica che definiva una «meravigliosa apparecchiatura spirituale fatta per pensare in anticipo tutti i casi possibili». All'Uomo matematico Musil ha dedicato un breve saggio apparso nel 1913, in cui tra l'altro scriveva: «Abbiamo rovinato a tal punto la nostra letteratura che dopo aver letto di seguito due romanzi tedeschi dobbiamo risolvere un integrale per dimagrire. Non si ribatta che i matematici, fuori della loro materia, hanno solo idee banali, quando ne hanno, e che persino la loro logica li pianta in asso. Quello non è affar loro. Ma essi sanno fare nel proprio campo ciò che noi dovremmo fare nel nostro. Per questo la loro vita ha molto da insegnarci, e può essere per noi un modello: i matematici sono un'analogia dell'uomo spirituale dell'avvenire»1.
Che cosa è la matematica?
Ma che cosa fanno i matematici? E che cosa è la matematica?
Domanda quanto mai difficile e che probabilmente interessa solo i matematici;
anzi neppure loro in realtà, dato che la stragrande maggioranza
dei matematici non è probabilmente in grado di dare una definizione
precisa e rigorosa di cosa la matematica sia, sebbene ogni matematico sia
perfettamente in grado di capire quando "sta facendo matematica". E' una
domanda che non solo non interessa troppo i matematici, ma che non solleva,
anche se potrebbe sembrare paradossale, nessuna profonda riflessione di
carattere logico e filosofico nella comunità matematica. Si potrebbe
prendere per buona, ed è solo uno degli ultimi esempi in ordine
di tempo, la definizione di "scienza esatta" e di "teorie scientifiche"
che ha dato Lucio Russo, non solo per la matematica naturalmente, nel libro
La rivoluzione dimenticata: «Per "scienza esatta" intenderemo
l'insieme delle "teorie scientifiche" ove una teoria scientifica per essere
tale deve avere le tre seguenti caratteristiche: 1) Le affermazioni "scientifiche"
non riguardano oggetti concreti, ma enti "teorici" specifici. 2) La teoria
ha una struttura rigorosamente deduttiva; è costituita cioè
da pochi enunciati fondamentali ("assiomi", "postulati" o "principi") sui
propri enti caratteristici e da un metodo unitario e universalmente accettato
per dedurne un numero illimitato di conseguenze. 3) Le applicazioni al
mondo reale sono basate su delle "regole di corrispondenza" tra gli enti
della teoria e gli oggetti concreti. Ove le regole di corrispondenza, a
differenza delle affermazioni interne alla teoria, non hanno alcuna garanzia
assoluta»2.
Negli ultimi anni della sua vita, il famoso matematico italiano Ennio De Giorgi, scomparso nell'ottobre 1996, al contrario di tanti altri matematici si è profondamente interessato a quelli che normalmente si chiamano i "fondamenti della matematica", le basi logiche e assiomatiche della matematica. Affermava De Giorgi che «la riflessione su quelli che sono i concetti fondamentali della matematica, di cui in fondo gli assiomi rappresentano il tentativo di esporli in modo più chiaro e meno ambiguo possibile, sia uno degli aspetti culturalmente più importanti della matematica antica e moderna. E da parte mia per quanto ho potuto ho cercato di chiarire il discorso sugli assiomi fondamentali, sui concetti fondamentali della matematica e delle altre scienze perché credo ci sia anche il problema di una assiomatica della fisica, della biologia [...] Un tentativo di assiomatizzare vuol dire semplicemente un tentativo di dire con la maggior chiarezza e semplicità possibili quelli che ci sembrano i dati da cui partiamo nei nostri discorsi di scienza. Soprattutto è importante non pensare che questa sia una operazione specialistica. Se uno pensa che ci siano gli specialisti dei fondamenti della matematica già ha perso il significato di quello che deve essere la ricerca dei concetti fondamenti della disciplina»3.
La domanda «che cosa è la matematica?» si ricollega
ad altre questioni che potrebbero sconfinare addirittura nella metafisica.
Esiste un mondo delle idee matematiche? In campo matematico è possibile
la scoperta? Esiste la certezza nel regno della matematica? Una delle definizioni
che amo di più è quella di Richard Courant e Herbert Robbins:
«Attraverso i secoli i matematici hanno considerato gli oggetti del
loro studio, quali, ad esempio, numeri, punti ecc, come cose esistenti
di per sé. Poiché questi enti hanno sempre sfidato ogni tentativo
di un'adeguata descrizione, lentamente sorse nei matematici del xix secolo
l'idea che la questione del significato di questi oggetti come cose sostanziali,
se pure ha un senso, non lo avesse nel campo della matematica. Le uniche
affermazioni rilevanti che li riguardano non si riferiscono alla realtà
sostanziale, e stabiliscono soltanto delle relazioni tra gli "oggetti matematici
non definiti" e le regole che governano le operazioni con essi. Nel campo
della scienza matematica, non si può e non si deve discutere ciò
che i punti, le rette, i numeri sono effettivamente: ciò che importa
e ciò che corrisponde a fatti "verificabili" sono la struttura e
le relazioni, che due punti determinino una retta, che i numeri si combinino
secondo certe regole per formare altri numeri ecc... Fortunatamente, la
mente creatrice dimentica le opinioni filosofiche dogmatiche ogni volta
che esse ostacolerebbero le scoperte costruttive. Così per gli studiosi
come per i profani, non è la filosofia ma l'esperienza attiva che
sola può rispondere alla domanda: che cosa è la matematica?»4.
Una definizione che rifiuta di essere una definizione ma che è
la migliore definizione possibile!
Le dimostrazioni sono morte?
Ha scritto Russo: «La matematica è stata sempre utilizzata
per ottenere risultati quantitativi e il modo in cui tali risultati vengono
ottenuti ne ha sempre influenzato (anche se spesso inconsapevolmente) la
struttura teorica». Da non molti anni i matematici hanno a disposizione
computer dotati di una grande potenza di calcolo e di una elevata capacità
di simulazione grafica. Sarebbe oggi impensabile trattare alcuni settori
della matematica contemporanea, dai frattali ai sistemi dinamici alla teoria
del caos, solo per fare alcuni degli esempi noti anche ai non matematici,
senza utilizzare i computer e la computer graphics. L'avvento di questa
nuova tecnologia ha modificato in parte il modo di fare matematica. In
parte, perché il fenomeno riguarda solo alcuni settori della matematica
e non si può certo generalizzare.
Il computer è diventato uno strumento che permette esperimenti
matematici che aprono prospettive del tutto nuove. In uno dei capitoli
del volume di P.J. Davis e R. Hersh The mathematical experience5
intitolato: "Perché mi devo fidare del computer?" i due autori mettevano
in evidenza (il libro è del 1981) che «nella matematica applicata,
il computer serve per calcolare una risposta approssimata, quando la teoria
non è in grado di darne una esatta [...] Ma in nessun modo la teoria
viene a dipendere dal computer per le sue conclusioni; al contrario, i
due metodi, teorico e algoritmico, sono come due punti di vista indipendenti
dello stesso oggetto; il problema è di coordinarli [...] La matematica
rigorosa della dimostrazione resta inalterata [...] Nella dimostrazione
del teorema dei quattro colori da parte di Haken e Appel la situazione
è completamente differente6. Essi presentano il
loro lavoro come definitivo, completo, come una dimostrazione rigorosa.
Una parte essenziale della dimostrazione consisteva in calcoli con il computer.
Cioè a dire, la dimostrazione pubblicata conteneva programmi per
il computer nonché i risultati numerici così ottenuti utilizzando
i programmi. I passi intermedi dell'esecuzione dei programmi non erano
pubblicati. In questo senso le dimostrazioni pubblicate erano teoricamente
e definitivamente incomplete».
David e Hersh avevano in mente i calcolatori superveloci dell'epoca e la possibilità di eseguire migliaia di calcoli in un tempo breve. Ma sin dagli anni '70 Thomas Banchoff e Charles Strauss ebbero l'idea di utilizzare la computer graphics animation per investigare visivamente le proprietà geometriche e topologiche di superfici tri e quadridimensionali. Questo uso dei computer in matematica era nuovo. Diventava possibile costruire una superficie su di un terminale video e quindi muoverla e trasformarla per studiarne meglio le proprietà. Oltre che agire come aiuto all'intuizione, i computer diventavano strumenti essenziali per la costruzioni di modelli. Man mano che strumenti e programmi informatici si facevano più sofisticati, aumentavano la profondità e la rilevanza delle applicazioni della computer graphics ai problemi matematici.
Nel 1988 si tenne il primo convegno sulla visualizzazione nella ricerca matematica presso l'Msri (Math sciences research institute) di Berkeley. L'anno precedente era stato lanciato il Geometry project all'Università del Minnesota a Minneapolis. Il centro mette a disposizione dei matematici i computer più sofisticati per studiare "visivamente" problemi matematici. Un risultato importante del convegno di Berkeley fu la pubblicazione nell'estate 1992 di una nuova rivista scientifica dal titolo molto significativo "Experimental mathematics". Alcuni dei membri del comitato editoriale erano tra i partecipanti del Geometry project; le stesse persone erano tra gli organizzatori del convegno di Berkeley. Anche se è chiaro che la definizione di matematica sperimentale include non solo l'uso di tecniche informatiche ma anche il sistema tradizionale "carta e penna", non vi è dubbio che la motivazione della nascita della nuova rivista era dovuta alla modifica del modo di lavorare di un numero significativo di matematici riconducibile all'utilizzo delle tecnologie legate alla computer graphics. Da allora si sono tenuti diversi convegni sul tema della visualizzazione. Il prossimo si terrà nel settembre 1997 alla Università Tecnica di Berlino. A conferma che il ricorso alle nuove tecniche visive e alle simulazione ha iniziato a modificare il mestiere di matematico, sulla rivista "Scientific American" è apparso nel 1993 un articolo intitolato The death of proof. Scrive l'autore dell'articolo: «Il calcolatore sta costringendo i matematici a riconsiderare la natura stessa della dimostrazione, e quindi della verità. Per ottenere certe dimostrazioni negli ultimi anni si sono dovute eseguire masse enormi di calcoli, sicché nessun essere umano può verificare queste cosiddette dimostrazioni al calcolatore; solo altri calcolatori sono in grado di farlo. Di recente alcuni ricercatori hanno proposto una dimostrazione al calcolatore che fornisce solo la probabilità, e non la certezza della verità, il che per alcuni matematici è una vera e propria incongruenza. Altri ancora stanno preparando "dimostrazioni video" nella speranza che siano più convincenti di pagine e pagine di formule»7.
E' indubbio che in questi ultimi anni il calcolatore ha consentito di
dimostrare risultati per nulla banali in matematica; consentito nel senso
che, utilizzando le capacità grafiche di un computer i matematici
sono riusciti a comprendere in che modo fosse possibile trovare una dimostrazione
analitica delle proprietà della "figura" che si poteva vedere solo
su di uno schermo.
Nell'articolo del "Scientific American" era citato anche David Hoffman,
oggi al Msri, che con William Meeks III, utilizzando le equazioni trovate
da un matematico brasiliano, Costa, ha dimostrato l'esistenza di una classe
di superfici minime di tipo topologico comunque elevato, superfici minime
con buchi, non ottenibili quindi con le lamine saponate. Il metodo da loro
usato è consistito nello studiare visivamente, sul terminale video,
le superfici costruite a partire dalle equazioni di Costa per cercare di
capirne la struttura; dallo studio delle immagini i due matematici sono
riusciti a cogliere alcune simmetrie delle figure viste e da questa osservazione
sono stati in grado di dimostrare analiticamente l'esistenza delle soluzioni8.
Non è certo casuale che nel 1993 sia stato pubblicato sul "Bulletin
of the American mathematical society" un articolo di A. Jaffe e F. Quinn,
Matematica teorica: verso una sintesi culturale tra matematica e fisica
teorica, in cui si metteva in discussione il ruolo delle dimostrazioni,
insomma della verità, in matematica9. L'articolo
ha avuto larga eco tra la comunità matematica internazionale; in
particolare il famoso matematico William Thurston, direttore del Msri,
ha risposto alle argomentazioni di Jaffa e Quinn nell'articolo
Sulle
dimostrazioni e il progresso in matematica10. Dispiace
che quando è stato pubblicato in italiano l'articolo di Jaffa e
Quinn con alcune delle più significative risposte, compresa quella
di Thurston, pochissimi siano stati i matematici italiani che sono intervenuti
nel dibattito. Tanto che in un articolo apparso nel maggio 1997 su "Le
Scienze" viene citato l'articolo originale ma non la traduzione in italiano11.
Matematica in rete.
Con l'avvento di Internet, nata come rete militare e poi divenuta,
prima della enorme diffusione mondiale (enorme nel senso che tocca oggi
40 milioni di persone, una minima parte della popolazione mondiale; gli
altri sono esclusi anche dal processo di diffusione della ricchezza materiale
e culturale), una rete universitaria, è possibile visitare i siti
web (ad esempio http://www.msri.org/Computing/SGP/ e http:// math.uh.edu/~chaos/Welcome.html)
dei centri di ricerca in cui ci si occupa di "matematica visiva" e "vedere"
i risultati che i matematici hanno ottenuto negli ultimi anni in questo
particolare settore che va dalla topologia alla geometria differenziale
al calcolo delle variazioni alla geometria a quattro dimensioni, senza
dimenticare i sistemi dinamici non lineari. Un'esperienza interessante
e stimolante non solo per chi si occupa di matematica ma anche per chi
si occupa di "nuove forme", artisti, esperti di computer graphics, designers,
eccetera12.
Si pensa che la prima vera "dimostrazione" matematica sia quella che
compare negli Elementi di Euclide: il fatto che «vi sono più
numeri primi che in ogni insieme finito assegnato di numeri primi»,
cioè che sono infiniti i numeri interi primi (Proposizione 20 del
IX libro). Siamo in epoca ellenistica, intorno al 300 avanti Cristo Euclide
insegnava ad Alessandria. Una delle grandi tragedie che colpirono la cultura
dell'antichità è stata la distruzione della biblioteca di
Alessandria. Oggi gli Elementi di Euclide si possono leggere in
rete (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html);
ogni dimostrazione è accompagnata dai disegni che ci sono stati
tramandati, ed è possibile interagire con le dimostrazioni. E' una
delle prove più evidenti di quanto possano essere utili le nuove
tecnologie: per catalogare e rendere disponibili in tempi rapidissimi a
milioni di utenti dati (in questo caso gli Elementi di Euclide)
accessibili solo in luoghi particolari come biblioteche e università.
Resterà traccia per i secoli futuri della nostra "biblioteca virtuale
di Alessandria" che stiamo costruendo per il 2000?
Note
1 R. Musil, Der Mathematik Mensch, in "Der Lose Vogel", nn 10-12, aprile-giugno 1913; ed. it. R. Musil, Stupidità e altri saggi, Mondadori, Milano, 1986.
2 L. Russo, La rivoluzione dimenticata, Feltrinelli, Milano, 1996; si veda anche la recensione di Franco Prattico, La scienza si diffonde se sa comunicare. Altrimenti può scomparire, Telèma 8.
3 M. Emmer, Ennio De Giorgi, video-intervista, Pisa, luglio 1996; testo integrale su "Lettera Pristem", n 21, settembre-ottobre 1996.
4 R. Courant e H. Robbins, Introduzione a What is mathematics: an elementary approach to idea and methods, Oxford univ press, New York, 1948; ed. it. Bollati Boringhieri.
5 P.J. Davis e R. Hersh The mathematical experience, Boston, Birkäuser, 1981; ed. it. Edizioni della Comunità.
6 Il teorema dei 4 colori afferma che ogni carta (si pensi a una carta geografica politica con i diversi stati) tracciata su un piano o su una sfera o una qualsiasi altra superficie può essere colorata con solo 4 colori, con la regola che due paesi che hanno lo stesso confine devono avere colori differenti. La dimostrazione è del 1976. K. Appel & W. Haken, The four color problem, in L.A. Steen (a cura di), Mathematics today, Springer-Verlag, New York, 1978.
7 J. Horgan, Morte della dimostrazione, "Le Scienze", n 304, dicembre 1993, pagg 82-91.
8 D. Hoffman, The computer-aided discovery of new embedded minimal surfaces, "The mathematical intelligencer", vol 9, n 3, 1987.
9 A. Jaffe e F. Quinn, Theoretical mathematics: toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics, "Bulletin of the American mathematical society", n 29, 1993.
10 "Bulletin of the American mathematical society", 30, n 2, 1994.
11 G. Lolli, Morte e resurrezione della dimostrazione, "Le Scienze", n 345, pagg 50-57. In italiano l'articolo di Jaffa e Quinn è stato pubblicato in "Lettera Pristem", Università Bocconi, n 16, 1995, pagg 7-17; una sintesi del dibattito sulla rivista americana e gli interventi dei matematici italiani sono stati pubblicati in "Lettera Pristem", n 18, 1995, in un dossier intitolato Congetture e dimostrazioni.
12 M. Emmer (a cura di),
The visual mind: art
and mathematics, The Mit Press, Boston, 1993. M. Emmer, La perfezione
visibile, Theoria, Roma, 1991. M. Emmer, Bolle di sapone: un viaggio
tra arte, scienza e fantasia, La Nuova Italia, Firenze, 1991.